Abstracts М. Шаперон. Обобщенные бифуркации Хопфа: лемма о рождении Мы формулируем и доказываем «лемму о рождении», обобщающую бифуркационные теоремы Пуанкаре—Андронова—Хопфа и Сакера—Наймарка. Из нее вытекает рождение многих топологически различных компактных инвариантных многообразий в общих семействах, зависящих не менее чем от двух параметров. Д. Дэвис, Д. Фукс, С. Табачников. Периодические траектории в правильном пятиугольнике Мы рассматриваем биллиардные траектории в правильном пятиугольнике. Известно, что такая траектория периодична в том и только в том случае, если тангенс угла наклона траектории к стороне пятиугольника принадлежит множеству (sin 36°)ℚ[ √5]. Более того, для каждого такого направления длины траекторий, как геометрические, так и комбинаторные, принимают ровно два значения. В настоящей работе мы приводим полное вычисление этих длин, а также полное описание соответствующих символических орбит. Формулируются также результаты и гипотезы, касающиеся биллиардов в других правильных многоугольниках. В. Эбелинг, С. Гусейн-Заде. Монодромия двойственных обратимых многочленов Принадлежащие первому автору и А. Такахаши обобщение странной двойственности Арнольда на обратимые многочлены от трех переменных включает следующее соотношение. Для некоторых обратимых многочленов f двойственная по Сайто к приведенной дзетафункции монодромии многочлена f совпадает с формальным «корнем» приведенной дзета-функции монодромии транспонированного по Берглунду—Хубшу многочлена fT. Здесь мы даем геометрическую интерпретацию «корней» дзета-функции монодромии и обобщаем указанное выше соотношение на все невырожденные обратимые многочлены от трех переменных и на некоторые многочлены любого числа переменных в форме, включающей «корни» дзета-функций монодромии как f, так и fT. А. Ерёменко, А. Габриэлов. Сингулярные возмущения полиномиальных потенциалов с приложениями к PT-симметричным семействам Рассматривается спектральная задача для оператора Шрёдингера −w′′ + Pw = λw с комплексным полиномиальным потенциалом P(z) = tzd + …, зависящим от параметра t, с нулевыми граничными условиями на бесконечности, заданными на двух лучах в комплексной плоскости. В первой части статьи получены достаточные условия непрерывности спектра при t = 0. Во второй части эти результаты применяются к изучению вещественного спектра и расположения нулей собственных функций PT-симметрических семейств с потенциалами степеней 3 и 4. А. Феликсон, С. Натанзон. Отмеченные двойные пантизации Двойной пантизацией двумерной поверхности называется набор из двух разбиений этой поверхности на сферы с тремя дырами. На двойных пантизациях действуют две естественные операции: флип и твист в ручке. Как показано авторами ранее, группоид, порожденный флипами и твистами в ручках, действует транзитивно на множестве допустимых двойных пантизаций, где класс допустимых двойных пантизаций можно выделить из всех двойных пантизаций красивым топологическим или простым комбинаторным свойством. В данной работе мы изучаем отмеченные двойные пантизации, т.е. двойные пантизации, кривые которых пронумерованы. Мы доказываем, что почти для всех поверхностей группоид, порожденный флипами и твистами в ручках, действует транзитивно на отмеченных допустимых двойных пантизациях. Исключение составляет сфера с двуми ручками, на которой группоид имеет 15 орбит. Ю. Ильяшенко, В. Молдавскис. Тотальная жесткость квадратичных векторных полей Рассматривается класс слоений комплексной проективной плоскости, задаваемых в фиксированной аффинной карте квадратичным векторным полем. Такие слоения, как правило, имеют инвариантную бесконечно удаленную прямую. Два слоения особенностями на ℂP2 топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм, сохраняющий ориентацию на слоях и на ℂP2, который переводит слои первого слоения в слои второго. Мы доказываем, что типичное слоение рассматриваемого класса может быть топологически эквивалентно лишь конечному набору слоений того же класса по модулю аффинной эквивалентности. Это свойство называется тотальной жесткостью. Из недавнего результата Линса Нето следует, что это число не превышает 240. Это — первая из двух тесно связанных статей. Она исследует жесткость квадратичных слоений, в то время как вторая изучает полиномиальные слоения высших степеней. Из сображений удобства вторая статья опубликована в предыдущем выпуске. А. Нейштадт, А. Васильев, А. Артемьев. Резонансное серфотронное ускорение релятивистской частицы Исследуется движение релятивистской заряженной частицы в плоской электромагнитной волне и однородном магнитном поле. Волна распространяется перпендикулярно к направлению поля. Движение частицы может быть описано гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. Параметры задачи позволяют выделить в системе быстрые и медленные переменные: три переменных изменяются медленно, и одна угловая переменная (фаза волны) быстро вращается везде, кроме окрестности некоторой поверхности в пространстве медленных переменных (резонансной поверхности). Вдали от резонансной поверхности динамика медленных переменных приближенно описывается методом усреднения. В ходе эволюции медленных переменных частица подходит к этой поверхности и может быть захвачена в резонанс с волной. Захват в резонанс приводит к ускорению частицы вдоль фронта волны (серфотронное ускорение). Исследован механизм захвата и показано, что захваченная частица не покидает резонанс и ее энергия растет бесконечно. Прохождение через резонанс без захвата приводит к рассеянию на резонансе, т. е. к малому, зависящему от фазы, отклонению действительного движения от движения, предсказываемого методом усреднения. Обнаружено, что многократные рассеяния приводят к диффузионному росту энергии частицы. Рассматриваемая задача относится к широкому классу задач о прохождении через резонансы в системах с быстро вращающимися фазами. Оценки точности метода усреднения в этом классе задач были впервые получены В.И. Арнольдом. М. Пассаре, Х. М. Рохас, Б. Шапиро. Дискриминантные амебы и новые последовательности мультипликаторов В классической работе, датированной 1914 годом, Пойа и Шур ввели и охарактеризовали два типа линейных операторов, действующих на ℝ[x] диагонально относительно мономиального базиса и переводящих многочлены с вещественными корнями (соотв. многочлены с вещественными корнями одного знака) в многочлены с вещественными корнями. Основываясь на фундаментальных свойствах амеб и дискриминантов, открытых Гельфандом, Капрановым и Зелевинским, мы вводим два новых естественных класса многочленов и описываем диагональные операторы, сохраняющие эти классы. Оказывается, что у этих классов имеется простое явное описание; в частности, один из этих классов совпадает с классом логарифмически вогнутых последовательностей. Р. Риманьи, Вад. Шехтман, А. Варченко. Конформные блоки и эквивариантные когомологии В статье показано, что некоторые конформные блоки модели Весса—Зумино—Виттена с группой U(n) могут быть получены как интегралы в эквивариантных когомологиях пространств флагов. В случае, когда пространства конформных блоков одномерны, эти интегралы удовлетворяют уравнениям Книжника—Замолодчикова; они пропорциональны гипергеометрическим интегралам, а коэффициент пропорциональностви дается интегралом типа Сельберга, вычисленным явно. В. Седых. О топологии коориентированных волновых фронтов в пространствах малой размерности Рассматриваются лежандровы особенности с точностью до лежандровой эквивалентности, сохраняющей коориентацию контактной структуры. В этом случае мы вычисляем индексы примыкания мультиособенностей лежандровых отображений общего положения в гладкие многообразия размерности n ≤ 6. В качестве следствия получены новые условия сосуществования особенностей волновых фронтов. А именно, мы находим все линейные соотношения с вещественными коэффициентами между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей любого компактного коориентированного волнового фронта общего положения в любом n-мерном пространстве. Д. Сирсма, М. Тибар. Оценки Бетти для многочленов В этой работе мы начинаем классификацию многочленов f: ℂn → ℂ степени d, для которых старшее число Бетти общего слоя близко к максимально возможному. Мы показываем, что если это число достаточно близко к максимуму, то многочлен обязан иметь изолированную особенность, а если оно немного дальше, то либо особенность изолирована, либо имеется прямая особенностей с общим трансверсальным типом Морса. В доказательствах используются деформации в пучки (pencils) с неизолированными особенностями. В. Васильев. Топологическая сложность и род Шварца общего вещественного полиномиального уравнения Мы доказываем, что минимальное число ветвлений арифметических алгоритмов, приближенно решающих общее полиномиальное уравнение xd + a1xd−1 + ⋯ + ad−1x + ad = 0 нечетной степени d, растет по меньшей мере как log2 d. Эта же оценка верна для ε-рода вещественной алгебраической функции, соответствующей этому уравнению, то есть для минимального числа открытых множеств, покрывающих пространство ℝd таких многочленов таким образом, что на каждом из этих множеств существует непрерывная функция, значение которой в каждой точке (a1, …, ad) приближенно (с точностью до некоторого достаточно малого ε > 0) равно одному из вещественных корней соответствующего уравнения. |
 |
Moscow
Mathematical Journal |
 |
||